Calculadora de MCM y MCD

¿Qué ha hecho?

Calcula a la vez los dos invariantes clave de un conjunto de números enteros:

• MCD (máximo común divisor): el mayor número que divide exactamente a todos.
• MCM (mínimo común múltiplo): el menor número positivo múltiplo de todos.

Y te muestra la descomposición en factores primos de cada uno para que veas de dónde salen.

Las fórmulas

MCD mediante el algoritmo de Euclides (iterativo y rápido):

$$ \text{mcd}(a, b) = \text{mcd}(b, a \bmod b), \quad \text{mcd}(a, 0) = a $$

MCM a partir del MCD:

$$ \text{mcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\text{mcd}(a, b)} $$

Para más de dos números, se aplica iterativamente: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c).

Casos típicos

• MCD = 1: los números son coprimos (no tienen factores comunes). Ejemplo: 7 y 11.
• MCD = uno de los números: ese número divide al resto. Ejemplo: MCD(6, 12, 18) = 6.
• MCM = producto de todos: cuando los números son coprimos entre sí. Ejemplo: MCM(2, 3, 5) = 30.

Cuándo se usan en la vida real

• Sumar fracciones con denominadores distintos: el denominador común mínimo es el MCM de los denominadores.
• Sincronizar eventos repetitivos: si un autobús pasa cada 8 minutos y otro cada 12, vuelven a coincidir cada MCM(8, 12) = 24 minutos.
• Cortar piezas iguales del tamaño máximo: si tienes barras de 12, 18 y 24 cm y quieres cortarlas en piezas iguales lo más grandes posibles, el tamaño es MCD(12, 18, 24) = 6 cm.
• Criptografía RSA: los números primos y la factorización son la base de la criptografía moderna.

Descomposición en factores primos

Todo entero > 1 se puede escribir como producto único de números primos (teorema fundamental de la aritmética).

Ejemplos:

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• 24 = 2³ × 3

Visto así:

• MCD = producto de los primos comunes con el menor exponente → 2 × 3 = 6.
• MCM = producto de todos los primos con el mayor exponente → 2³ × 3² = 72.

Para qué NO sirve

• Números decimales o negativos: se ignoran.
• Factorizar números muy grandes (>10¹⁵): el algoritmo de prueba simple usado se queda corto. Para números grandes hay algoritmos especializados (Pollard’s rho, criba cuadrática, etc.).
• Polinomios: el MCD de polinomios usa el algoritmo de Euclides en otro contexto — no implementado.

Calculadora relacionada

• Regla de tres simple y compuesta — proporciones con números reales.